УЧАЩИМСЯ 11-В КЛАССА! ГОТОВЬТЕСЬ К ОЛИМПИАДЕ ПО МАТЕМАТИКЕ!!!
Задача 1 :
В игре участвуют два игрока А и Б. Игрок А задаёт значение одного из коэффициентов a, b или c многочлена
x3 + ax2 + bx + c.
Игрок Б указывает значение любого из двух оставшихся коэффициентов. Затем игрок А задаёт значение последнего коэффициента. Существует ли стратегия игрока А такая, что как бы ни играл игрок Б, уравнение
x3 + ax2 + bx + c = 0
имеет три различных (действительных) решения?
Задача 2 :
Пусть
f(x) = (...((x – 2)2 – 2)2 – 2)2... – 2)2
(здесь скобок ( ) – n штук). Найдитеf І(0)
Задача 3 :
Числа a , b и c таковы , что
a2 + b2 + c2 = 1.
Докажите, что
a4 + b4 + c4 + 2(ab2 + bc2 + ca2)2 Ј 1.
При каких a, b и c неравенство превращается в равенство?
Задача 4 :
Пусть прямая L перпендикулярна плоскости P. Три сферы попарно касаются друг друга так, что каждая сфера касается плоскости P и прямой L. Радиус большей сферы равен 1 . Найдите минимальный радиус наименьшей сферы.
Задача 5 :
На валютной бирже острова Удача продают динары (D), гульдены (G), реалы (R) и талеры (T). Биржевые маклеры имеют право совершить сделку купли-продажи с любой парой валют не более одного раза за день. Курсы валют такие: D = 6G, D = 25R, D = 120 T, G = 4R, G = 21T, R = 5T. Например, запись D = 6G означает,что 1 динар можно купить за 6 гульденов (или 6 гульденов можно продать за 1 динар). Утром у маклера было 80 динаров, 100 гульденов, 100 реалов и 50400 талеров. Вечером у него было одинаковое число динаров и талеров. Каково максимальное значение этого числа?
Задача 6 :
Известно, что n-вершинник содержит внутри себя многогранник M с центром симметрии в некоторой точке Q и сам содержится в многограннике, гомотетичном M, с центром гомотетии в точке Q и коэффициентом k. Найдите наименьшее значение k, если
а) n = 4, b) n = 5
Задача 7 :
Докажите, что существуют арифметические прогрессии произвольной длины, состоящие из различных попарно взаимно простых натуральных чисел.
Задача 8 :
Докажите, что плоскость, делящая в одинаковом отношении площадь поверхности и объем описанного многогранника проходит через центр вписанной в этот многогранник сферы.
Задача 9 :
В треугольнике ABC угол A равен a, а угол B равен 2a. Окружность с центром в точке C радиуса CA пересекает прямую, содержащую биссектрису внешнего угла при вершине B в точках M и N. Найдите углы треугольника MAN.
В игре участвуют два игрока А и Б. Игрок А задаёт значение одного из коэффициентов a, b или c многочлена
x3 + ax2 + bx + c.
Игрок Б указывает значение любого из двух оставшихся коэффициентов. Затем игрок А задаёт значение последнего коэффициента. Существует ли стратегия игрока А такая, что как бы ни играл игрок Б, уравнение
x3 + ax2 + bx + c = 0
имеет три различных (действительных) решения?
Задача 2 :
Пусть
f(x) = (...((x – 2)2 – 2)2 – 2)2... – 2)2
(здесь скобок ( ) – n штук). Найдитеf І(0)
Задача 3 :
Числа a , b и c таковы , что
a2 + b2 + c2 = 1.
Докажите, что
a4 + b4 + c4 + 2(ab2 + bc2 + ca2)2 Ј 1.
При каких a, b и c неравенство превращается в равенство?
Задача 4 :
Пусть прямая L перпендикулярна плоскости P. Три сферы попарно касаются друг друга так, что каждая сфера касается плоскости P и прямой L. Радиус большей сферы равен 1 . Найдите минимальный радиус наименьшей сферы.
Задача 5 :
На валютной бирже острова Удача продают динары (D), гульдены (G), реалы (R) и талеры (T). Биржевые маклеры имеют право совершить сделку купли-продажи с любой парой валют не более одного раза за день. Курсы валют такие: D = 6G, D = 25R, D = 120 T, G = 4R, G = 21T, R = 5T. Например, запись D = 6G означает,что 1 динар можно купить за 6 гульденов (или 6 гульденов можно продать за 1 динар). Утром у маклера было 80 динаров, 100 гульденов, 100 реалов и 50400 талеров. Вечером у него было одинаковое число динаров и талеров. Каково максимальное значение этого числа?
Задача 6 :
Известно, что n-вершинник содержит внутри себя многогранник M с центром симметрии в некоторой точке Q и сам содержится в многограннике, гомотетичном M, с центром гомотетии в точке Q и коэффициентом k. Найдите наименьшее значение k, если
а) n = 4, b) n = 5
Задача 7 :
Докажите, что существуют арифметические прогрессии произвольной длины, состоящие из различных попарно взаимно простых натуральных чисел.
Задача 8 :
Докажите, что плоскость, делящая в одинаковом отношении площадь поверхности и объем описанного многогранника проходит через центр вписанной в этот многогранник сферы.
Задача 9 :
В треугольнике ABC угол A равен a, а угол B равен 2a. Окружность с центром в точке C радиуса CA пересекает прямую, содержащую биссектрису внешнего угла при вершине B в точках M и N. Найдите углы треугольника MAN.
